現(xiàn)在我們來討論一下由帶電導(dǎo)體所產(chǎn)生的電場問題。由若干帶電導(dǎo)體組成一個帶電系統(tǒng)，這個帶電系統(tǒng)在空間中產(chǎn)生一個靜電場，如果每個帶電導(dǎo)體上的面電荷分布(由面電荷密度表示)已經(jīng)知道，通過第1章中我們已經(jīng)討論過的求面電荷的電場的方法，原則上可以由求曲面積分把這個電場唯一地確定出來，但是我們前面已經(jīng)講過，導(dǎo)體上的面電荷分布與很多因素有關(guān)，比如說與導(dǎo)體的形狀，大小、各個導(dǎo)體之間的相對位置等都有關(guān)，面電荷分布一般是難以預(yù)先確定的，因而也無法從電荷的分布來確定帶電導(dǎo)體的電場。

  然而從另外一個方面來看，無需預(yù)先確定導(dǎo)體上的電荷分布，只要通過改變帶電導(dǎo)體的形狀、大小、導(dǎo)體之間的相對位置以及調(diào)整和控制各導(dǎo)體的電勢或各導(dǎo)體上的總電量，就可以得出我們所要求的各種空間電場，這里自然產(chǎn)生這樣一個回題除了由電荷分布能夠唯一地確定電場外，從靜電場遵守的普遍性質(zhì)——高斯定理和環(huán)路定理出發(fā)，通過給定各個導(dǎo)體的形狀、大小、導(dǎo)體之間的相對位置、各個導(dǎo)體的電勢或電量以及包圍電場空間的邊界面上的電勢后，能否保證由帶電導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)的電場有唯一確定的解存在呢這個問題實(shí)際上涉及兩個方面一是符合兩條定理且滿足給定各個導(dǎo)體的形狀、大小、導(dǎo)體間的相對位置、各個導(dǎo)體的電勢或電量以及包圍電場空間的邊界面上的電勢條件(這些條件在電磁學(xué)中稱為邊界條件)的靜電場的解是否存在，即滿足邊界條件的靜電場解的存在性問題二是如果靜電場解存在，它是否唯一，即解的唯一性問題。第一個問題實(shí)際上是與已知邊界條件求靜電場解的問題密切相關(guān)的，求邊界條件下的靜電場解的問題是電動力學(xué)中靜電學(xué)的典型問題，并稱為靜電場的邊值問題。由于這個問題的討論涉及太多數(shù)學(xué)問題，同時也超出了普通物理電磁學(xué)部分的內(nèi)容，我們不作進(jìn)一步討論了關(guān)。于第二個問題，即解的唯一性問題，對本書中的許多問題的理解都有很大關(guān)系，我們將盡量避開復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題來進(jìn)行簡要的討論。

  關(guān)于在邊界條件下解的唯一性問題，在電磁學(xué)中稱為唯一性定理。在由帶電導(dǎo)體組成的電荷系統(tǒng)產(chǎn)生的靜電場中，唯一性定理可以簡述如下：當(dāng)給定電場的邊界條件，即給定包圍電場空間的邊界面S(這個界面可以是距帶電系統(tǒng)無限遠(yuǎn)的閉合曲面，也可以是導(dǎo)體殼的內(nèi)表面)上的電勢Us，給定S面內(nèi)各導(dǎo)體的形狀、大小及各導(dǎo)體之間的相對位置，同時再給定下列兩條件之一∶

  (1)S面內(nèi)每個導(dǎo)體的電勢Ui;

  (2)S面內(nèi)每個導(dǎo)體上的總電量qi。

  其中i=1，2，…為導(dǎo)體的編號，則在以S為邊界面的電場空間內(nèi)滿足高斯定理和環(huán)路定理的靜電場解是唯一的。

  下面我們來證明上述唯一性定理。

  在對唯一性定理進(jìn)行正式證明之前，我們先證明一個重要結(jié)論：在無電荷的空間里電勢不可能有極大值和極小值。